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2009.01.13 分数のわり算／割り算の本当の意味 「小学生の勉強(13302)」 [ どんぐり倶楽部 ]����
お正月、イメージフィックス法を使って、ルーが漢字が覚える現場に立ち会えて嬉しかったんですが、
じつはそれより嬉しかったことがありました。分数のわり算です。私が、どんぐり倶楽部に出会った時、
算数の部分で一番感動したのが、『割り算の本当の意味』というところでした。
●割り算って「等しく分けたときの１かたまりの数？」
→じゃあ「3/2(2分の3)÷1/5(5分の1)」はどうなるの？
※納得できない説明を聞き、納得できないままに
「分数の割算は割る数の逆数を掛ければいい」と教わって、
割算の意味も知らずに計算だけはできるようになってしまう。
これでは応用力は育ちません。

私も、小学校の時に教えられて以来、分数で割る時は、ひっくり返してかける、と丸覚えしていたんですが、納得いく説明が聞きたい、とずっと思っていました。
●記号(÷)の意味
　A÷B→A：B→A/B→つまり、「Ｂを基準にしたときに対応する値をAとする」　という記号です。
●「割り算をする」とは、「A割るB」=＜A÷B＞において、基準(B)を１にしたとき(置き換えた時)に対応するAを求める、
ということです。
この説明には、ほんまに感動しました。A÷Bをする時は、基準（B）を１にしようとしたらいいんです。つまりは、お宝算で「１人の取り分」を考える、ということです。この考え方が基本にあれば、Bが整数であっても分数であっても同じことです。Bが整数なら、A÷B = A/B　と単純に書いてもいいし、これを約分してもいいし、必要なら筆算で適当なところまで計算してもいい。Bが分数なら、これを１にするために、結局のところは「ひっくり返してかけたら」いい。Bが小数なら、（0.4なら　４／１０というように）これを分数に直して、同じようにやればいい。・・・・すぐぉうぃっしゅ！！（と、そんときは言わへんかったけど）丸覚えせなしゃーない、とあきらめていたことの説明を、思いがけず聞けて、わたし、どんぐり先生について行こう、と決心した瞬間（笑）でした。分数のわり算を学校で習うのは、小６です。ルーにも小６までやらせるつもりはありませんでした。でも、正月、実家の父に説明していたそのときの流れで、（まったく素の状態の子どもが、これをやったらどう考えるかな？）という興味も手伝って、聞いてみました。「やりたくなかったら、せんでもいいねんけど・・・１÷１／３　、やってみる？」ここで、÷の意味をふたたび説明しました。「÷っていうのは、お宝算で、１人分はいくつになりますか、っていうことやったやんなあ。○÷３、やったら、３人分で○な時、１人分はどんだけ？っていうことやん？１／３人っていうのは、考えたらコワイけど、絵を描いて考えてみてくれへん？」ルーは、しばらく考えてから、「そんなおそろしい人を描くの〜？ふっふっふ〜」　と、半分うれしそうに描きはじめました。「え〜〜〜？？　３ぶんの１人、３ぶんの１人・・・きしょくワルイなあ。こんだけ（頭）の部分で１個ってことやんなあ？ちょっと待ってよ〜〜ほんなら、１人やったら〜〜〜３個！！　・・・合ってる？？」「大正解！！」ここで、色気を出して、もうちょっと聞いてみました。「ほんならな〜、これはほんまに難しい〜〜〜大人でもじつは難しい〜〜〜から、できんでいいねんけど、１÷４／３　、って考えてみてくれへん？　絵を描いて。」ルーは、またしても、おそろしい絵を描き始めました。（この時描いた絵は実家に置いて来てしまったので、大阪に戻って来て、おとうさんに説明する時に描いた絵を載せます。たまたま鳥取講演会目次の裏を使ったので、先生の写真がちょっと透けてます。）
これが４／３人やろ？ほんで、キャンディーが１個なんやんなあ。この人は、３つに割れてて、（怖っ）それが４つぶんあるってことやん？　（怖っ）この４つぶんでキャンディー１個。そやから、キャンディー１個も４つに分けるねん。この人は、この３つぶんで１人の人間やから、１人っていうのは、３つぶん、キャンディーも３つぶんやから・・・キャンディー3/４個！！　　合ってる？？どひゃあ〜〜大正解でございます！やっぱり、絵の力ってすごい！！　なかなかじゅうじつのお正月でございました。
Last updated� 2009.01.13 07:25:53

海賊レオン一家が、お宝をゲットしました。このお宝を、けんかにならないように、
みんな同じ数もらえるように（均等に）分けます。この時、「１人の分け前が何個になるか」を求めるのが、お宝算です。
●記号（÷）の意味
　A÷B→A : B→A/B
　→つまり「Bを基準にしたときに対応する値をAとする」という記号です。

A÷B、A : B、A/Bは、表現が違うだけで、同じことを表しているのです。

どんぐり先生によると、この表現の違いは、「日本語、イタリア語、フランス語みたいなもの」だそうで、どれも結局のところは、Bに対してA ということなんです。お宝算的に表現すると、海賊がB人でA個のお宝をゲット。じゃあ、１人分は？ということになります。
これは、割り算の基本の考え方で、このことさえわかれば、割る数に何がきてもへいちゃらです。「１人の取り分」さえ考えればいいんですから。AとBに具体的な数字を入れて、考えていきましょう。
○６÷３→6 : 3　（３に対して６）
ここで海賊レオンくん一家が登場です。
〜海賊レオンくん一家が、お宝をぶんどってきました。〜
海賊３人で、お宝６こゲット！これを絵で描くと、１人分は２個。絵に描くと一目瞭然ですね！分数で書くと、となりますが、これは、

ということで、これはどれも同じ数、つまり、「１人ぶんのお宝の数」を表しています。三角視算表では、

となります。
○２÷　１／３　→２：　１／３　（１／３に対して２）
海賊１／３人で（誰かに切られちゃったんでしょうか？？）お宝２個ゲット！１／３人（１部分）でお宝２個です。

体を１人分にするためには３倍すればいいので、
お宝も３倍して、６個。

式で書くと、

となります。
○２÷　４／３　→２：　４／３
海賊４／３人で、お宝２個ゲット！

この絵をよく見ると、海賊の体は４等分されています。だから、お宝も４等分します。

切られた体の３部分を合わせると１人分の体に復活するので、お宝も４等分したもの（１／２個）の３つぶん、つまり３／２個が１人分の分け前となります。

お宝を４等分して・・・３つぶん、というところを式に表すと、
４分割して・・・／４
３つぶん・・・×３
×３／４
です。
分子（４）で割ったものを（分子で割って）、分母（３）ぶん用意すれば（分母をかければ）、１人ぶんの体ができあがります。この、分子で割って、分母をかける、という２ステップを、１つの式で表すと、
X　分母／分子
となります。「分数で割る時は、分子と分母をひっくり返して、かける。」
ということの意味は、こういうことです。
割られる数が分数の場合も考えてみましょう。
○７／５　÷　５／３　→　７／５：５／３　（５／３に対して７／５）
海賊７／５人で、お宝が５／３個ゲット！
今回のお宝は四角形にしますね。

この図でも海賊の体は５つの部分に分かれています。これを１人分の体にするには、５で割って・・・（／５）

その３つぶん（X３）

つまり、X　３／５をすると、レオンくん１人分に復活しました。お宝もこれに合わせて、縦に５つに割って、

その３つぶん、

つまり、２１／２５が答えです。この経過を式で書くと、

簡略化して式に書くと、

となります。これで、何がどうなっても割り算は大丈夫ですね！ああ、やっとできた。前の記事と合わせてコトノハの原稿にしま〜す。
Last updated� 2009.02.22 10:48:11